home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Loadstar 199 / 199.d81 / gear docs seq < prev    next >
Encoding:
Text File  |  2001-01-01  |  14.5 KB  |  411 lines
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.        
  6.                        Louis Ricker
  7.                        PO BOX 917   
  8.                        ITALY TX  76651    
  9.                        USA
  10.      
  11.      
  12.      
  13.      
  14.      
  15.      
  16.      
  17.      
  18.      
  19.      
  20.      
  21.                        SELECTING GEAR TRAINS FROM A SET
  22.      
  23.                              OF LATHE CHANGE GEARS
  24.      
  25.           This is an attempt at making gear train calculating more
  26.      productive. Both a non-computer method and a computer method will be
  27.      considered. For the benefit of both methods I have taken a look at
  28.      fundamentals and have jettisoned some lumber that has encumbered
  29.      method and mathematics.
  30.      
  31.           For this undertaking one should have at hand a calculator which
  32.      has the logarithm, reciprocal, and change sign functions. Some
  33.      calculators give only natural (base e) logarithms. Others give both
  34.      natural and common (base 10) logs. Either can be used, but only one
  35.      kind of log should be used throughout a process. The reciprocal of a
  36.      number is one divided by that number. The 1/x key gives the reciprocal
  37.      of the number in the calculator display. The change sign key, +/- ,
  38.      changes the sign of the number in the display (+ to - or - to +). If a
  39.      common log is in the display the 10^x (10 raised to the x power) key
  40.      gives the number whose log is in the display. The e^x key gives the
  41.      anti log of a natural log in the display.
  42.      
  43.           In addition to a calculator access to a computer is desirable. We
  44.      can manage without a computer, but it is not possible to duplicate the
  45.      work of the computer using only a calculator, because the amount of
  46.      work involved is beyond human capacity.
  47.      
  48.           Although the methods discussed here can be applied to gear trains
  49.      in general, we shall be thinking only of the change gear lathe and
  50.      three applications of gear trains - screw cutting, spindle indexing,
  51.      and linear indexing. It should be noted that our methods produce many
  52.      approximate gear trains. The user must decide whether this is
  53.      tolerable.
  54.      
  55.           Gear train solvers have always been plagued by multiple unknowns.
  56.      In finding a three-pair compound train one must solve a problem having
  57.      one known quantity (the ratio of the train) and six unknowns (the
  58.  
  59.  
  60.  
  61.  
  62.  
  63.  
  64.  
  65.  
  66.  
  67.      Louis Ricker, Gear Trains                                                2
  68.  
  69.  
  70.  
  71.      gears). There are two ways to do this. One way is to examine all the
  72.      possible combinations of a set of gears. My set consists of sixteen
  73.      gears having fourteen sizes. For one, two, or three-pair trains there
  74.      are hundreds of thousands of combinations. This must be done by
  75.      computer. The other way is to doodle. Doodling works, but it is not
  76.      altogether satisfactory. It simply leaves too many solutions
  77.      undiscovered. On the other hand, I have already received a complaint
  78.      about "the vast amount of output" of correct solutions by the
  79.      computer. I have responded by tightening the tolerances in the
  80.      programs. This has reduced the number of trains printed. In some cases
  81.      a tight tolerance will exclude all trains, and there will be no trains
  82.      printed. Then the tolerance must be widened.
  83.      
  84.           In order to control the doodling some methods apply many rules.
  85.      Others add known factors to the formulas. This tampering only serves
  86.      to restrict the number of possible solutions. Often failure to
  87.      properly label values has led to logical leaps. It is one thing to do
  88.      arithmetic correctly, but quite another to give mathematics meaning.
  89.      To do this we must be careful with language.
  90.      
  91.           Consider the following problem: "How many millimeters are
  92.      contained in 0.125 inch ?" The answer to this problem is "how many",
  93.      not "how many millimeters"; we already know it is millimeters. Now let
  94.      us state the problem mathematically:
  95.      
  96.           Let x represent "how many".
  97.      
  98.                x mm = 0.125 in.
  99.      
  100.           If a quantity is divided by its equal the quotient is one:
  101.      
  102.       x mm
  103.      --------- = 1 = the number of times 0.125 in. is contained in x mm .
  104.      0.125 in.
  105.      
  106.           By law: 1 in. = 25.4 mm .
  107.      This is called a "conversion factor". It is not a factor.
  108.           One divided by 25.4 does not equal one, but 1 in. divided by 25.4
  109.      mm does.
  110.      
  111.             1 in.       25.4 mm
  112.           ------- = 1 = -------
  113.           25.4 mm        1 in.
  114.      
  115.           x mm            1 in.     25.4 mm
  116.           --------- = 1 = ------- = -------
  117.           0.125 in.       25.4 mm    1 in.
  118.      
  119.           We want x or "how many"-1alone-0.
  120.      
  121.           0.125 in.   x mm        25.4 mm   0.125 in.
  122.           --------- X --------- = ------- X ---------
  123.              1        0.125 in.   1 in.          1
  124.  
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.  
  130.  
  131.  
  132.  
  133.      Louis Ricker, Gear Trains                                                3
  134.  
  135.  
  136.  
  137.      
  138.      (If equals are multiplied by equals the results are equal.)
  139.      
  140.            1     x mm   25.4 mm   0.125    1
  141.           ---- X ---- = ------- X ----- X ----
  142.           1 mm     1       1         1    1 mm
  143.      
  144.           All labels cancel.
  145.      
  146.           x = 3.175 = "how many".
  147.      
  148.           Another "conversion factor" is Pi or 3.1416 .
  149.      Properly labeled it becomes:
  150.      
  151.           1 circumference = 3.1416 diameters.
  152.      
  153.           3.1416 diameters
  154.       or  ---------------- = 1
  155.           1 circumference
  156.      
  157.           Pi and 25.4 are often injected into gear train formulas in the
  158.      form of gear pairs. The arithmetic is correct, but many other pairs
  159.      are excluded by this practice. For our purposes conversions should be
  160.      done up front once and for all, not hundreds of thousands of times.
  161.      
  162.           In this article the gear on the spindle is a driveR ; the gear on
  163.      the lead screw is driveN.
  164.      
  165.           Let "DRIVERS" equal the product of the numbers of teeth of the
  166.      driver gears. Let "DRIVEN" equal the product of the numbers of teeth
  167.      of the driven gears.
  168.      
  169.           Formula 1 is for gear trains between spindle and lead screw:
  170.      
  171.                  Lead of thread to be cut   DRIVERS
  172.          RATIO = ------------------------ = -------
  173.                  Lead of leadscrew           DRIVEN
  174.      
  175.           Formula 2 is for spindle indexing gear trains.
  176.      
  177.           Let DIV = Number of divisions of one spindle rotation.
  178.      
  179.           Let INDEX = Number of teeth indexed.
  180.      
  181.      Formula 2 :
  182.      
  183.                         DRIVERS   DRIVERS
  184.           RATIO = DIV = ------- = --------------
  185.                         DRIVEN    INDEX X DRIVEN
  186.      
  187.                   DRIVERS
  188.           INDEX = ------------
  189.                   DIV X DRIVEN
  190.  
  191.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.  
  197.  
  198.  
  199.      Louis Ricker, Gear Trains                                                4
  200.  
  201.  
  202.  
  203.      
  204.           Notice that the number of teeth indexed is equivalent to a gear
  205.      of that number of teeth making one revolution.
  206.      
  207.           Formula 3 is for linear indexing of the leadscrew.
  208.      
  209.                   Required advance of carriage by leadscrew
  210.           RATIO = ----------------------------------------
  211.                   Lead of leadscrew
  212.      
  213.                   DRIVERS   INDEX X DRIVERS
  214.           RATIO = ------- = ---------------
  215.                   DRIVEN        DRIVEN
  216.      
  217.           Formula 3 :
  218.      
  219.                    RATIO X DRIVEN
  220.            INDEX = --------------
  221.                       DRIVERS
  222.      
  223.           The ratio is the number of turns of the leadscrew per index. The
  224.      number of turns can be fractional. Notice that INDEX is a driver in
  225.      Formula 3 while INDEX was driven in Formula 2 .
  226.      
  227.      THE NON-COMPUTER METHOD
  228.      
  229.           The chart on my Myford 7 lathe calls for the following gear train
  230.      for a 2.25 mm thread lead:
  231.      
  232.      45 X 60 X 21   DRIVERS
  233.      ------------ = ------- = ACTUAL RATIO = 0.70875
  234.      40 X 40 X 50   DRIVEN
  235.      
  236.           My lead screw has a lead of 0.125 in.
  237.      
  238.                      LEAD OF THREAD TO BE CUT   2.25 mm
  239.      DESIRED RATIO = ------------------------ = --------
  240.                      LEAD OF LEAD SCREW         3.175 mm
  241.      
  242.      DESIRED RATIO = 0.708661417
  243.      
  244.      COMMON LOG OF DESIRED RATIO = -0.149561211
  245.      
  246.           How many turns per inch on desired thread ?
  247.      
  248.      25.4 mm / 1 in.   1 turn X 25.4 mm   25.4 turns
  249.      --------------- = ---------------- = ----------
  250.      2.25 mm / turn    1 in. X 2.25 mm    2.25 in.
  251.      
  252.      TURNS PER INCH OF THREAD = 11.28888889
  253.      
  254.      The inverse (1/x) of this is 0.088582677 in./turn.
  255.      
  256.  
  257.  
  258.  
  259.  
  260.  
  261.  
  262.  
  263.  
  264.  
  265.      Louis Ricker, Gear Trains                                                5
  266.  
  267.  
  268.  
  269.           With the gear train one turn of the spindle produces 0.70875 turn
  270.      of the lead screw. This times 0.125 in. lead is 0.08859375 in./spindle
  271.      turn. At 11.28888889 turns we get 1.000125 inches. Who could ask for
  272.      better ? But I have only one 40-tooth gear.
  273.      
  274.           Let P = NUMBER OF PAIRS. Let N = NUMBER OF SIZES.
  275.      
  276.                                        N times (N-1)
  277.      Formula for NUMBER OF PAIRS:  P = ------------- .
  278.                                            2
  279.                                               
  280.           I made a list of all the pairs (91) of my gears and divided the
  281.      larger gear by the smaller. All the ratios were greater than one. The
  282.      logs of these ratios are all positive. This avoids confusion when
  283.      subtracting logs. I set all the logs in a table in ascending order,
  284.      along with their corresponding ratios and pairs. Then I began to
  285.      doodle, adding and subtracting logs, trying to get them to equal the
  286.      log of the desired ratio. This was like looking for a needle in a
  287.      haystack. However, there were many "needles", and after a few tries I
  288.      found this train :
  289.      
  290.      DRIVERS   25 X 70
  291.      ------- = ------- = 0.708502024 RATIO
  292.      DRIVEN    65 X 38
  293.      
  294.      This gives 0.999775078 in./11.28888889 turns. But I did not find it
  295.      directly. First I subtracted the log of 70/38 from the log of 65/25.
  296.      (0.41497 - 0.26531 = 0.14966). Since I subtracted a log its pair had
  297.      to be inverted.
  298.      
  299.      65 X 38
  300.      ------- = 1.41143. 
  301.      25 X 70
  302.      
  303.      But this is the wrong ratio. The inverse of this ratio is 0.7085. If
  304.      the ratio is inverted the entire train is inverted :
  305.      
  306.           25 X 70
  307.           ------- = 0.7085
  308.           65 X 38
  309.      
  310.      How did I know I had the right gears if I had the wrong ratio ? This
  311.      is the beauty of logarithms. The log of 1.4114 is 0.14965. The log of
  312.      0.7085 is -0.14965. The calculator keys, 1/x and +/- , make these
  313.      calculations relatively pleasant.
  314.      
  315.           Gear trains may be rearranged without changing the ratio provided
  316.      the drivers remain drivers and the driven remain driven. Two-pair
  317.      trains can be arranged four ways, and three-pair trains can be
  318.      arranged thirty six ways without changing ratio.
  319.      
  320.           The computer revealed dozens of trains which had ratios closer
  321.      than the ratio of the train I found by doodling. If you need to
  322.  
  323.  
  324.  
  325.  
  326.  
  327.  
  328.  
  329.  
  330.  
  331.      Louis Ricker, Gear Trains                                                6
  332.  
  333.  
  334.  
  335.      compensate for an error in the lead screw you can use the computer to
  336.      sift out trains having that error simply by varying the tolerance in
  337.      the program. To sift out such a train by doodling requires more luck
  338.      than I have ever had.
  339.      
  340.           Doodling for indexing gears is essentially the same except that
  341.      not all the logs are in the table. We have to take each gear size and
  342.      pair it with DIV to get Log (DRIVER divided by DIV) or with RATIO to
  343.      get LOG (RATIO X DRIVEN). Then we search the tables for another pair
  344.      or two. We will get an INDEX for every train, but obviously "INDEX
  345.      57.5 teeth on the 30-tooth wheel" is useless. After trying this
  346.      doodling I was convinced that I needed a computer. I did not know how
  347.      to program it, so I had to learn as I went along with this article.
  348.      The programs included here are somewhat better than the first ones,
  349.      but I know they can be improved.
  350.      
  351.           THE COMPUTER METHOD
  352.      
  353.           The program was written for the Commodore 64 computer. In order
  354.      to translate the program for your computer you need to:
  355.      
  356.           1. understand what is going on in my program overall.
  357.      
  358.           2. know what each instruction to the computer is in my program
  359.      and what it does.
  360.      
  361.           3. know or be able to find the corresponding instructions for
  362.      your computer.
  363.      
  364.           The computer takes logs from pigeon holes and assembles them to
  365.      represent prospective gear trains and tests them. If a train is good
  366.      enough it is printed on the screen or - if you use a printer - on
  367.      paper. For some trains the computer will tell you to invert the last
  368.      pair in relation to the other pairs - and/or to invert the entire
  369.      train.
  370.      
  371.           Earlier in my article I described two methods of solving gear
  372.      train problems. Here is another method. First arrange the pairs of
  373.      gears and the corresponding logarithms of their ratios in order. I
  374.      chose ascending order just as with the doodling method. Incidentally,
  375.      I believe L. C. Mason was the first to call it doodling. Second select
  376.      in turn two pairs. Third conduct a systematic search for a third pair.
  377.      And fourth and most important, let the computer do it all.
  378.                                      # # #
  379.      
  380.      Postscript
  381.      
  382.           This essay and the program were written many years ago. Since
  383.      then my brain has become addled as a result of my addiction to chess.
  384.      (Lads and lassies, don't go near chess; at least don't inhale). I
  385.      stand by my masterpiece essay, but the program...  Obviously 'fine
  386.      tuning' is needed. A routine to sift out the optimum train of gears
  387.      would help. If you have only one gear of a particular size and the
  388.  
  389.  
  390.  
  391.  
  392.  
  393.  
  394.  
  395.  
  396.  
  397.      Louis Ricker, Gear Trains                                                7
  398.  
  399.  
  400.  
  401.      computer spits out a train having two gears of that size, that train
  402.      should be eliminated. Likewise trains that are not mechanically viable
  403.      and duplicate trains. If my memory serves I did not do all the
  404.      possible inversions of gear pairs in "gear trains", but I believe the
  405.      inversions were done in "my gears", which was created by "gear
  406.      trains". (See lines 1080 and 1085.) I'm too old to figure this stuff,
  407.      and the search algorithm - the moment I finished programming it I
  408.      could no longer understand it. THAT should make the case for extensive
  409.      REMs. Have fun.
  410.      LR                                                                    
  411.